「HEOI 2015」小 Z 的房间

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Description

题目链接：BZOJ 4031

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含 $n\times m$ 个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。答案对 $10^9$ 取模。

数据范围：$1\le n,m\le 9$

Solution

矩阵树定理裸题，注意不能把柱子的点放入矩阵中。加边时，我们只枚举 $(i,j)​$ 上方和左方的点，这样可以保证每条边只被枚举到一次。

时间复杂度：$O(n^3m^3)$

Code

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#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N=15,M=105;
const int mod=1e9;
char s[N][N];
int n,m,a[M][M],id[N][N];

void add(int u,int v) {
    --a[u][v],--a[v][u],++a[u][u],++a[v][v];
}
int Gauss(int n) {
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        for(int k=i+1;k<=n;++k) {
            while(a[k][i]) {
                int d=a[i][i]/a[k][i];
                for(int j=i;j<=n;++j) a[i][j]=(a[i][j]-1LL*d*a[k][j]%mod+mod)%mod;
                std::swap(a[i],a[k]),ans=-ans;
            }
        }
        ans=1LL*ans*a[i][i]%mod,ans=(ans+mod)%mod;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
    int idx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j) if(s[i][j]=='.') id[i][j]=++idx;
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j) if(s[i][j]=='.') {
        if(id[i-1][j]) add(id[i][j],id[i-1][j]);
        if(id[i][j-1]) add(id[i][j],id[i][j-1]);
    }
    printf("%d\n",Gauss(idx-1));
    return 0;
}
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