「HDU 3976」Electric Resistance

Description

题目链接:HDU 3976

给你一个有 $n$ 个节点的电路(标记为 $1$ 到 $n$),请你求出节点 $1$ 和节点 $n​$ 之间电路的等效电路。

电路在 $1$ 和 $n$ 之间的等效电阻为:如果只考虑节点 $1$ 为正极,节点 $n​$ 为负极,那么整个电路可以看作是一个电阻。保证任意两个节点之间的电阻最多只有一个。

本题 $T$ 组数据。

数据范围:$1\le T\le 100$,$1\le n\le 50$,$1\le m\le 2000$


Solution

首先明确一下电流、电压、电阻、电势的关系:

电压 = 电势差 = 电流 × 电阻

设第 $i$ 个点的电势为 $U_i$,那么总的电压为 $U_n-U_1$,设流过整个电路的电流为 $1$,那么电阻的数值也就是 $U_n-U_1$。我们根据每个点的流入电流等于流出电流(基尔霍夫电流定律,简称 $\text{KCL}$),列出 $n$ 个方程。

假设每个点流入的电流为负,流出的电流为正。那么设节点 $1$ 的流入电流为 $-1$,节点 $n$ 的流出电流为 $1$,那么对于 $u$ 到 $v$ 的电阻 $w$,也就是对 $u$ 的电流有 $\frac{U_v-U_u}{w}$ 的贡献,显然对 $v$ 的电流有 $\frac{U_u-U_v}{w}$ 的贡献。

由于电势差是相对的,因此我们又设节点 $1$ 的电势为 $0$,那么高斯消元后可以求出等效电阻为 $U_n​$ 了。

这样 $n​$ 个方程中的最后一个是多余的,我们可以替换成 $U_1=0​$,这样一来方程组就正确了。

时间复杂度:$O(Tn^3)$


Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

const int N=105,M=1e3+5;
int n,m;
double a[N][N],b[N],x[N];

void Gauss(int n) {
for(int i=1;i<=n;++i) {
int p=i;
for(int k=i+1;k<=n;++k) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[p][i])) p=k;
if(i!=p) std::swap(a[i],a[p]),std::swap(b[i],b[p]);
for(int k=i+1;k<=n;++k) {
double d=a[k][i]/a[i][i];
b[k]-=d*b[i];
for(int j=i;j<=n;++j) a[k][j]-=d*a[i][j];
}
}
for(int i=n;i>=1;--i) {
for(int j=i+1;j<=n;++j) b[i]-=x[j]*a[i][j];
x[i]=b[i]/a[i][i];
}
}
int main() {
int T,cs=0;
for(scanf("%d",&T);T--;) {
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(a,0,sizeof(a)),memset(b,0,sizeof(b));
while(m--) {
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
a[u][u]-=1.0/w,a[u][v]+=1.0/w;
a[v][v]-=1.0/w,a[v][u]+=1.0/w;
}
memset(a[n],0,sizeof(a[n]));
a[n][1]=1;
b[1]=1,b[n]=0;
Gauss(n);
printf("Case #%d: %.2lf\n",++cs,x[n]);
}
return 0;
}
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