「SPOJ 375」QTREE - Query on a tree

发表于 | | 阅读次数:
字数统计: 1k 字

Description

题目链接：SPOJ 375

给定一棵 $n$ 个节点的树，边按照输入顺序编号为 $1\sim n-1$，每条边都有一个权值 $c_i$ 需要对这棵树进行若干次操作，操作分为 $2$ 种：

  • CHANGE i t：将第 $i$ 条边的权值 $c_i$ 修改为 $t$
  • QUERY a b：询问从节点 $a$ 到 $b$ 的路径上的边权最大值。

询问以 DONE 结束，有 $T$ 组数据。

数据范围：$T\le 20$，$n\le10^4$，$c_i,t\le 10^6$

Solution

对于这类树的题目，我们首先可以想到用树链剖分维护。而这题需要维护的边的信息，那么我们可以把每条边的信息放在较深的节点上，就转化成了维护点的信息了。

但是这样做需要注意一个问题：每次查询时，$\text{LCA}$ 的节点维护的信息是它上方的边，因此这个点不能被查询到。如何解决？我们根据树剖的性质可以发现以下方法：记 $x$ 的 $\text{DFS}$ 序为 $d_x$，那么最后查询 $u,v$ 的信息时（这里令 $u$ 的深度比 $v$ 浅），我们可以发现 $u$ 一定是 $\text{LCA}$，所以只要查询 $d_u+1,d_v$ 就可以避开 $\text{LCA}$ 了。

时间复杂度：$O(n\log^2 n)$（这里认为操作次数和 $n$ 同阶）

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
inline char nc() {
    static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template <class Tp> inline void read(register Tp &s) {
    s=0;
    register bool neg=0;
    register char c=nc();
    for(;c<'0'||c>'9';c=nc()) neg|=(c=='-');
    for(;c>='0'&&c<='9';s=s*10+(c^48),c=nc());
    s=(neg?-s:s);
}

const int N=1e5+5,M=2e5+5;
int n,idx,dfn[N],seq[N],U[N],V[N],W[N],val[N],fa[N],dep[N],top[N],sz[N],hvy[N];
int tot,lnk[N],ter[M],nxt[M],wei[M],seg[N<<2];

void add(int u,int v,int w) {
    ter[++tot]=v,wei[tot]=w,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot;
}
void dfs1(int u,int f) {
    fa[u]=f,dep[u]=dep[f]+1,sz[u]=1,hvy[u]=top[u]=0;
    for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
        int v=ter[i];
        if(v==f) continue;
        val[v]=wei[i];
        dfs1(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[hvy[u]]<sz[v]) hvy[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int tp) {
    dfn[u]=++idx,seq[idx]=u,top[u]=tp;
    if(!hvy[u]) return;
    dfs2(hvy[u],tp);
    for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
        int v=ter[i];
        if(v==fa[u]||v==hvy[u]) continue;
        dfs2(v,v);
    }
}
void pushup(int rt) {
    seg[rt]=std::max(seg[lson],seg[rson]);
}
void build(int rt,int l,int r) {
    if(l==r) {
        seg[rt]=val[seq[l]];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson,l,mid);
    build(rson,mid+1,r);
    pushup(rt);
}
void modify(int x,int rt,int l,int r,int val) {
    if(l==r) {
        seg[rt]=val;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) modify(x,lson,l,mid,val);
    else modify(x,rson,mid+1,r,val);
    pushup(rt);
}
int query(int x,int y,int rt,int l,int r) {
    if(x>y) return 0;
    if(x<=l&&r<=y) return seg[rt];
    int mid=(l+r)>>1,res=0;
    if(x<=mid) res=std::max(res,query(x,y,lson,l,mid));
    if(mid<y) res=std::max(res,query(x,y,rson,mid+1,r));
    return res;
}
int chainQuery(int u,int v) {
    if(u==v) return 0;
    int res=0;
    for(int fu=top[u],fv=top[v];fu^fv;u=fa[fu],fu=top[u]) {
        if(dep[fu]<dep[fv]) std::swap(u,v),std::swap(fu,fv);
        res=std::max(res,query(dfn[fu],dfn[u],1,1,n));
    }
    if(dep[u]>dep[v]) std::swap(u,v);
    res=std::max(res,query(dfn[u]+1,dfn[v],1,1,n));
    return res;
}
int main() {
    int T;
    for(read(T);T--;) {
        read(n);
        idx=tot=0,memset(lnk,0,sizeof(lnk));
        for(int i=1;i<n;++i) {
            int u,v,w;
            read(u),read(v),read(w);
            add(u,v,w),add(v,u,w);
            U[i]=u,V[i]=v,W[i]=w;
        }
        dfs1(1,0),dfs2(1,1),build(1,1,n);
        while(1) {
            char c=nc();
            while(c<'A'||c>'Z') c=nc();
            if(c=='D') break;
            int x,y;
            read(x),read(y);
            if(c=='C') {
                int u=U[x],v=V[x];
                if(fa[v]==u) std::swap(u,v);
                modify(dfn[u],1,1,n,y);
            } else {
                printf("%d\n",chainQuery(x,y));
            }
        }
    }
    return 0;
}
0%