「Luogu 2906」Cow Neighborhoods

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Description

题目链接：Luogu 2906

了解奶牛们的人都知道，奶牛喜欢成群结队。观察约翰的 $n$ 只奶牛，你会发现她们已经结成了几个“群”。每只奶牛在吃草的时候有一个独一无二的位置坐标 $(X_i,Y_i)$。当满足下列两个条件之一，两只奶牛 $i$ 和 $j$ 是属于同一个群的：

  1. 两只奶牛的曼哈顿距离不超过 $C$，即 $|X_i-X_j|+|Y_i-Y_j|\le C$。
  2. 两只奶牛有共同的邻居。即存在一只奶牛 $k$，使 $i$ 与 $k$、$j$ 与 $k$ 均同属一个群。

请计算有多少个牛群，以及最大的牛群里有多少奶牛。

数据范围：$1\le n\le 10^5$，$1\le X_i,Y_i,C\le 10^9$，$X_i,Y_i,C\in \mathbb{Z}$

Solution

首先我们有一个转化：曼哈顿距离转切比雪夫距离。将一个点的坐标 $(x,y)$ 转化成 $(x+y,x-y)$，设新点的坐标为 $(x’,y’)$，那么原来的曼哈顿距离 $\vert x_1-x_2\vert +\vert y_1-y_2\vert$ 就等于现在的切比雪夫距离 $\max(\vert x’_1-x’_2\vert,\vert y’_1-y’_2\vert)$。可以通过分类讨论或几何法简单证明成立。

设第 $i$ 个点的新坐标为 $(X_i+Y_i,X_i-Y_i)$，记为 $(x_i,y_i)$。那么第 $1$ 个限制会变为：

  • 两只奶牛的切比雪夫距离不超过 $C$，即 $\max(\vert x_1-x_2\vert,\vert y_1-y_2\vert)\le C$。

由于有 $\max$，我们可以将 $(x_i,y_i)$ 以 $x_i$ 为第一个关键字，$y_i$ 为第二关键字，从小到大排序。对于同一群的奶牛我们用并查集合并。

我们用 $\text{set}$ 维护 $y_i$（每个点）的值，我们每次在插入第 $i$ 个点时，先把 $\text{set}$ 中所有满足 $\vert x_i-x_j\vert>C$ 的点都删除，然后用 $\text{lower_bound}$ 找到第一个大于等于 $y_i$ 的点，如果满足约束条件就将这两个点合并起来。再找到最后一个小于 $y_i$ 的点，进行相同合并操作。

最后我们证明其他的点不需要和 $i$ 合并。

对于大于等于 $y_j$ 的点 $k$ 满足约束条件 $y_k-y_i\le C$，那么 $y_k-y_j\le y_k-y_i\le C$，那么在处理 $j$ 或 $k$ 时一定会把 $k$ 合并进来（这取决于 $x_j$ 和 $x_k$ 的大小），所以不必合并了。对于小于的部分证明同理。

时间复杂度：$O(n\cdot\alpha(n)\log n)$

Code

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
typedef std::pair<long long,int> pli;
typedef std::pair<long long,long long> pll;
#define mk std::make_pair

const int N=1e5+5;
int n,C,fa[N],cnt[N];
pll a[N];
std::set<pli> s;

int find(int x) {
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y) {
    fa[find(x)]=find(y);
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&C);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int X,Y;
        scanf("%d%d",&X,&Y);
        a[i]=mk(X+Y,X-Y),fa[i]=i;
    }
    std::sort(a+1,a+n+1);
    s.insert(mk(-1LL<<60,0)),s.insert(mk(1LL<<60,0));
    s.insert(mk(a[1].second,1));
    for(int l=1,i=2;i<=n;++i) {
        while(a[i].first-a[l].first>C) s.erase(mk(a[l].second,l)),++l;
        std::set<pli>::iterator it=s.lower_bound(mk(a[i].second,0));
        if(it->first-a[i].second<=C) merge(i,it->second);
        --it;
        if(a[i].second-it->first<=C) merge(i,it->second);
        s.insert(mk(a[i].second,i));
    }
    int ans=0,mx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans+=(find(i)==i),mx=std::max(mx,++cnt[find(i)]);
    printf("%d %d\n",ans,mx);
    return 0;
}
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