「HNOI 2008」GT 考试

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Description

题目链接：BZOJ 1009

阿申准备报名参加 GT 考试，准考证号为 $n​$ 位数 $X_1,X_2,\dots,X_n​$，他不望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学 $A_1,A_2,\dots,A_m​$ 有 $m​$ 位，不出现是指 $X_1,X_2,\dots,X_n​$ 中没有恰好一段等于 $A_1,A_2,\dots,A_m​$。注意 $A_1​$ 和 $X_1​$ 可以为 $0​$。

数据范围：$1\le n\le 10^9$，$1\le m\le 20$，$1\le k\le 1000$，$0\le X_i,A_i\le 9$

Solution

我们定义 $\text{DP}$ 状态 $f_{i,j}$ 表示考虑到第 $i$ 个数，匹配到了 $X$ 中的第 $j$ 个字符时的方案数。显然 $i,j$ 的范围是 $0\le i\le n$，$0\le j<m$。

转移方程为：

其中的 $p$ 不一定是 $0$ 或者 $j-1$，因为加入字符 $k$ 后，有如下三种情况：

  1. 匹配到了 $X$ 中的下一个字符。
  2. 失配，无法匹配任何字符。
  3. 重新匹配到了 $X$ 的一个前缀。

这个式子看似无法优化了，我们换一种方式写出转移方程：

其中的 $g_{k,j}$ 表示一个匹配了长度为 $k$ 长度的串，有多少种加数字的方法，使得匹配长度变成 $j$。

由于我们知道原串，那么 $g_{i,j}$ 是固定的，我们可以预处理出这个数组。我们可以使用 $\text{KMP}$ 算法，求出 $\text{next}$ 数组后，枚举匹配长度 $k$ 和字符 $ch$，暴力计算能匹配到多长的前缀。

这样一来，我们得到了一个 $O(nm^2)$ 的算法。

再次观察这个 $\text{DP}$ 式子，可以轻松发现这个式子和矩阵乘法的式子非常相似，那么我们用矩阵快速幂优化 $\text{DP}$ 转移即可，求出 $g$ 矩阵的 $n$ 次幂。

时间复杂度：$O(m^3\log n)$

Code

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int N=21;
int n,m,mod,nxt[N];
char s[N];

void upd(int &x,int y) {
    (x+=y)>=mod&&(x-=mod);
}
struct Matrix {
    int n,A[N][N];
    Matrix(int _n=0) {n=_n,memset(A,0,sizeof(A));}
    void operator ~ () {
        for(int i=0;i<n;++i) A[i][i]=1;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) const {
        Matrix ret(n);
        for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<n;++j) for(int k=0;k<n;++k) {
            upd(ret.A[i][k],1LL*A[i][j]*b.A[j][k]%mod);
        }
        return ret;
    }
    Matrix operator ^ (const long long &b) const {
        Matrix ret(n),x=*this; ~ret;
        for(long long p=b;p;p>>=1,x=x*x) if(p&1) ret=ret*x;
        return ret;
    }
};

Matrix kmp() {
    nxt[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=m;++i) {
        while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
        if(s[j+1]==s[i]) ++j;
        nxt[i]=j;
    }
    Matrix a(m);
    for(int i=0;i<m;++i) {
        for(char ch='0';ch<='9';++ch) {
            int j=i;
            while(j&&s[j+1]!=ch) j=nxt[j];
            if(s[j+1]==ch) ++j;
            ++a.A[i][j];
        }
    }
    return a;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s+1);
    Matrix a=kmp();
    a=a^n;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;++i) upd(ans,a.A[0][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
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