「Codeforces 402E」Strictly Positive Matrix

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Description

题目链接：Codeforces 402E

你有一个 $n\times n$ 的矩阵 $a$。它满足如下性质：

  • 对于任意的 $i,j$（$1\le i,j\le n$）都有 $a_{i,j}\ge 0$。
  • $\sum_{i=1}^n a_{i,i}=0$

矩阵 $b$ 是严格正矩阵当且仅当对于任意的 $i,j$（$1\le i,j\le n$）都有 $b_{i,j}>0$。

求是否存在整数 $k\ge 1$ 使得 $a^k$ 是一个严格正矩阵。

数据范围：$2\le n\le 2\times 10^3$，$0\le a_{i,j}\le 50$，$\sum_{i=1}^n a_{i,i}=0$

Solution

首先我们把这个矩阵转化为 $01$ 矩阵，它的 $k$ 次方代表着对它进行 $k$ 次迭代，得到的矩阵记为 $a’$。那么$a’_{i,j}=1$ 当且仅当邻接矩阵 $a$ 形成的图中 $i$ 到 $j$ 有一条长度为 $k$ 的路径（并非是简单路径），也就是走 $k$ 次后图的连通性。

这样一来，我们把矩阵问题转化为图论问题了！

再观察这个问题的性质：由于对角线的和不为 $0$，那么存在至少一个点有自环。如果从 $i$ 到 $j$ 存在一条长度为 $k$ 且经过有自环的点，那么我们一定通过不断走自环可以得到长度为 $k+1,k+2,\dots​$ 的路径。

这就意味着如果存在 $k$，那么一定所有点都可达。

直接用 $01$ 矩阵建立有向图，使用 $\text{Tarjan}$ 求出强连通分量的个数是否为 $1$ 即可。

时间复杂度：$O(n^2)$

Code

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define fail puts("NO"),exit(0)

const int N=2e3+5,M=N*N;
int n,idx,cnt,tot,lnk[N],ter[M],nxt[M],dfn[N],low[N];
bool vis[N];
std::stack<int> st;

void add(int u,int v) {
    ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot;
}
void tarjan(int u) {
    dfn[u]=low[u]=++idx,st.push(u),vis[u]=1;
    for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
        int v=ter[i];
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u]=std::min(low[u],low[v]);
        } else {
            if(vis[v]) low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]) {
        if(++cnt>1) fail;
        do {
            vis[u=st.top()]=0,st.pop();
        } while(dfn[u]!=low[u]);
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        if(x&&i!=j) add(i,j);
    }
    tarjan(1);
    for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[i]) fail;
    puts("YES");
    return 0;
}
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