「算法笔记」网络流 - 最小割

最小割，指割去一些边使得源点和汇点不连通的最小花费，有最大流最小割定理。

网络流系列文章

最大流
最小割
费用流
有上下界的网络流（未学习）

概念

割

对于一个网络流图 $G=(V,E)$，其割的定义为一种点的划分方式：将所有的点划分为 $S$ 和 $T=V-S$ 两个部分，其中源点 $s\in S$，汇点 $t\in T$。

割的容量

我们的定义割 $(S,T)$ 的容量 $c(S,T)$ 表示所有从 $S$ 到 $T$ 的边的容量之和，即 $c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)$。当然我们也可以用 $c(s,t)$ 表示 $c(S,T)$。

最小割

最小割就是求得一个割 $(S,T)$ 使得割的容量 $c(S,T)$ 最小。

证明

最大流最小割定理

定理：$f(s,t)_{\max}=c(s,t)_{\min}$

对于任意一个可行流 $f(s,t)$ 的割 $(S,T)$，我们可以得到：

$f(s,t)=S\text{出边的总流量}-S\text{入边的总流量}\le S\text{出边的总流量}=c(s,t)$

如果我们求出了最大流 $f$，那么残余网络中一定不存在 $s$ 到 $t$ 的増广路经，也就是 $S$ 的出边一定是满流，$S$ 的入边一定是零流，于是有：

$f(s,t)=S\text{出边的总流量}-S\text{入边的总流量}=S\text{出边的总流量}=c(s,t)$

结合前面的不等式，我们可以知道此时 $f$ 已经达到最大。

代码

最小割

通过最大流最小割定理，我们可以直接得到如下代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int N=1e4+5,M=2e5+5;
int n,m,s,t,tot=1,lnk[N],ter[M],nxt[M],val[M],dep[N],cnr[N];

void add(int u,int v,int w) {
    ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot,val[tot]=w;
}
void addedge(int u,int v,int w) {
    add(u,v,w),add(v,u,0);
}
int bfs(int s,int t) {
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    memcpy(cnr,lnk,sizeof(lnk));
    std::queue<int> q;
    q.push(s),dep[s]=1;
    while(!q.empty()) {
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
            int v=ter[i];
            if(val[i]&&!dep[v]) q.push(v),dep[v]=dep[u]+1;
        }
    }
    return dep[t];
}
int dfs(int u,int t,int flow) {
    if(u==t) return flow;
    int ans=0;
    for(int i=cnr[u];i&&ans<flow;i=nxt[i]) {
        cnr[u]=i;
        int v=ter[i];
        if(val[i]&&dep[v]==dep[u]+1) {
            int x=dfs(v,t,std::min(val[i],flow-ans));
            if(x) val[i]-=x,val[i^1]+=x,ans+=x;
        }
    }
    if(ans<flow) dep[u]=-1;
    return ans;
}
int dinic(int s,int t) {
    int ans=0;
    while(bfs(s,t)) {
        int x;
        while((x=dfs(s,t,1<<30))) ans+=x;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    while(m--) {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
    }
    printf("%d\n",dinic(s,t));
    return 0;
}

方案

我们可以通过从源点 $s$ 开始 $\text{DFS}$，每次走残量大于 $0$ 的边，找到所有 $S$ 点集内的点。

void dfs(int u) {
    vis[u]=1;
    for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
        int v=ter[i];
        if(!vis[v]&&val[i]) dfs(v);
    }
}

割边数量

只需要将每条边的容量变为 $1$，然后重新跑 $\text{Dinic}$ 即可。

问题模型

有 $n$ 个物品和两个集合 $A,B$，如果将一个物品放入 $A$ 集合会花费 $a_i$，放入 $B$ 集合会花费 $b_i$；还有若干个形如 $u_i,v_i,w_i$ 限制条件，表示如果 $u_i$ 和 $v_i$ 同时不在一个集合会花费 $w_i$。每个物品必须且只能属于一个集合，求最小的代价。

这是一个经典的二者选其一的最小割题目。我们对于每个集合设置源点 $s$ 和汇点 $t$，第 $i$ 个点由 $s$ 连一条容量为 $a_i$ 的边、向 $t$ 连一条容量为 $b_i$ 的边。对于限制条件 $u,v,w$，我们在 $u,v$ 之间连容量为 $w$ 的双向边。

注意到当源点和汇点不相连时，代表这些点都选择了其中一个集合。如果将连向 $s$ 或 $t$ 的边割开，表示不放在 $A$ 或 $B$ 集合，如果把物品之间的边割开，表示这两个物品不放在同一个集合。

最小割就是最小花费。