「算法笔记」Kruskal 重构树

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自从做了 「NOI 2018」归程 之后，才知道有 $\text{Kruskal}$ 重构树这个冷门又神奇的东西。

概述

$\text{Kruskal}$ 重构树是基于 $\text{Kruskal}$ 最小生成树算法的一种算法，它主要通过将边权转化为点权来实现，其中有一些非常奇妙的性质！

构造

除了连边，其他过程都和 $\text{Kruskal}$ 最小生成树算法完全一样。

当我们需要在 $u,v$ 之间连一条权值为 $w$ 的边时，$\text{Kruskal}$ 重构树算法是这样实现的：

  • 新建节点 $x$，将 $x$ 的点权设为 $w$。
  • 设 $u,v$ 所属集合分别为 $S_u$ 和 $S_v$，那么连边 $(x,S_u)$ 和 $(x,S_v)$，此处连有向边即可，注意没有边权！
  • 将 $u$ 和 $v$ 所属集合都改为 $x$。

其余过程直接套用 $\text{Kruskal}$ 即可！

重构树的根应该为 $2n-1$，也就是最后一个点。原因为：如果以 $1\sim n$ 中的任何一个点作为根会破坏重构树的形态；连边时向下连边，只有以 $2n-1$ 为根时才能遍历整棵树。

构造重构树的复杂度和 $\text{Kruskal}$ 一样，都是 $O(n\log n)$。

性质

  1. 最后形成一棵有 $2n-1$ 个节点的树。

    我们需要将 $n$ 个原来的点最后放到同一个集合中，那么需要进行 $n-1$ 次合并。每次合并都会新建 $1$ 个节点和 $2$ 条无向边。那么一共会有 $2n-1$ 个点和 $2n-2$ 条边。

  2. 重构树中的叶子节点为原树中的节点，其余每个节点代表了一条边。

    我们每次将 $x$ 和下方的 $u,v$ 连边，这个证明很显然吧！

  3. 原树 $u$ 到 $v$ 路径上的边权最大值为重构树上 $u$ 和 $v$ 的 $\text{LCA}$ 的点权。

    根据 $\text{Kruskal}$ 的过程，我们把边按照权值从小到大排序，那么对于所有非叶子节点，它的点权（原图的边权）一定不大于父亲节点的点权，所以路径上的最大值即为 $\text{LCA}$ 的点权。

例题

本文以「BZOJ 3732」Network 为例（虽然此题可以直接用倍增解决，但是这里使用 $\text{Kruskal}$ 重构树的方法实现）

题目链接：BZOJ 3732

Description

给你 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每条边的长度为 $d_i$。现在有 $k$ 个询问 ，每次询问 $u,v$ 之间的所有路径中，最长边的最小值是多少？

数据范围：$1\le n\le 1.5\times 10^4$，$1\le m\le 3\times 10^4$，$1\le k\le 2\times 10^4$，$1\le d_i\le 10^9$

Solution

首先我们可以发现一个性质：最长边最小的路径一定在这张图的最小生成树上。那么我们只要求出这张图的最小生成树，然后倍增求出最大值即可。

然而现在不是讨论倍增的时候！QAQ

我们不建立最小生成树，而是建立重构树。根据上面的性质 $(3)$，每次询问的答案就是 $\text{LCA}(u,v)$ 的点权。

时间复杂度：$O(m\log m+k\log n)$

Code

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#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N=3e4+5,M=6e4+5,logN=15+1;
int n,m,q,tot,fa[N],lnk[N],val[N],ter[M],nxt[M],f[N][logN],dep[N];
struct Edge{
    int u,v,w;
    bool operator < (const Edge &rhs) const {
        return w<rhs.w;
    }
}e[M];

void add(int u,int v) {
    ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot;
}
int find(int x) {
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void kruskal() {
    std::sort(e+1,e+m+1);
    int lim=n+n;
    for(int i=1;i<=lim;++i) fa[i]=i;
    for(int idx=n,i=1;i<=m;++i) {
        int fu=find(e[i].u),fv=find(e[i].v);
        if(fu==fv) continue;
        fa[fu]=fa[fv]=++idx,val[idx]=e[i].w;
        add(idx,fu),add(idx,fv);
        if(idx==lim-1) break;
    }
}
void dfs(int u,int fa) {
    dep[u]=dep[fa]+1,f[u][0]=fa;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];++i) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) if(ter[i]!=fa) dfs(ter[i],u);
}
int lca(int u,int v) {
    if(dep[u]>dep[v]) u^=v^=u^=v;
    for(int i=15;~i;--i) if(dep[f[v][i]]>=dep[u]) v=f[v][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=15;~i;--i) if(f[u][i]^f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
    return f[u][0];
}
int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
    kruskal();
    dfs(2*n-1,0);
    while(q--) {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",val[lca(u,v)]);
    }
    return 0;
}

习题

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