「HDU 3976」Electric Resistance

发表于 | | 阅读次数:
字数统计: 676 字

Description

题目链接：HDU 3976

给你一个有 $n$ 个节点的电路（标记为 $1$ 到 $n$），请你求出节点 $1$ 和节点 $n​$ 之间电路的等效电路。

电路在 $1$ 和 $n$ 之间的等效电阻为：如果只考虑节点 $1$ 为正极，节点 $n​$ 为负极，那么整个电路可以看作是一个电阻。保证任意两个节点之间的电阻最多只有一个。

本题 $T$ 组数据。

数据范围：$1\le T\le 100$，$1\le n\le 50$，$1\le m\le 2000$

Solution

首先明确一下电流、电压、电阻、电势的关系：

电压 = 电势差 = 电流 × 电阻

设第 $i$ 个点的电势为 $U_i$，那么总的电压为 $U_n-U_1$，设流过整个电路的电流为 $1$，那么电阻的数值也就是 $U_n-U_1$。我们根据每个点的流入电流等于流出电流（基尔霍夫电流定律，简称 $\text{KCL}$），列出 $n$ 个方程。

假设每个点流入的电流为负，流出的电流为正。那么设节点 $1$ 的流入电流为 $-1$，节点 $n$ 的流出电流为 $1$，那么对于 $u$ 到 $v$ 的电阻 $w$，也就是对 $u$ 的电流有 $\frac{U_v-U_u}{w}$ 的贡献，显然对 $v$ 的电流有 $\frac{U_u-U_v}{w}$ 的贡献。

由于电势差是相对的，因此我们又设节点 $1$ 的电势为 $0$，那么高斯消元后可以求出等效电阻为 $U_n​$ 了。

这样 $n​$ 个方程中的最后一个是多余的，我们可以替换成 $U_1=0​$，这样一来方程组就正确了。

时间复杂度：$O(Tn^3)$

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

const int N=105,M=1e3+5;
int n,m;
double a[N][N],b[N],x[N];

void Gauss(int n) {
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        int p=i;
        for(int k=i+1;k<=n;++k) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[p][i])) p=k;
        if(i!=p) std::swap(a[i],a[p]),std::swap(b[i],b[p]);
        for(int k=i+1;k<=n;++k) {
            double d=a[k][i]/a[i][i];
            b[k]-=d*b[i];
            for(int j=i;j<=n;++j) a[k][j]-=d*a[i][j];
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;--i) {
        for(int j=i+1;j<=n;++j) b[i]-=x[j]*a[i][j];
        x[i]=b[i]/a[i][i];
    }
}
int main() {
    int T,cs=0;
    for(scanf("%d",&T);T--;) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(a,0,sizeof(a)),memset(b,0,sizeof(b));
        while(m--) {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            a[u][u]-=1.0/w,a[u][v]+=1.0/w;
            a[v][v]-=1.0/w,a[v][u]+=1.0/w;
        }
        memset(a[n],0,sizeof(a[n]));
        a[n][1]=1;
        b[1]=1,b[n]=0;
        Gauss(n);
        printf("Case #%d: %.2lf\n",++cs,x[n]);
    }
    return 0;
}
0%